在概率论与数理统计的学习过程中，我们经常会遇到这样一个问题：已知一个随机变量的概率密度函数（Probability Density Function, PDF），如何求解其对应的累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）？这个问题看似简单，但其实蕴含了深刻的概念和技巧。

首先，我们需要明确概率密度函数和累积分布函数之间的关系。概率密度函数描述的是随机变量取值的概率分布情况，而累积分布函数则是通过将概率密度函数从负无穷积分到某个特定点来定义的。换句话说，累积分布函数F(x)表示随机变量小于或等于x的概率，即：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \]

其中，f(t)是概率密度函数。

接下来，让我们通过一个具体的例子来理解这一过程。假设有一个连续型随机变量X，其概率密度函数为：

\[ f(x) =

\begin{cases}

2x & \text{当 } 0 \leq x \leq 1 \\

0 & \text{其他情况}

\end{cases} \]

我们的目标是求出这个随机变量的累积分布函数F(x)。根据上述公式，我们可以分段计算F(x)：

1. 当 \( x < 0 \)，由于概率密度函数为0，因此累积分布函数也为0：

\[ F(x) = 0 \]

2. 当 \( 0 \leq x \leq 1 \)，累积分布函数为从0到x对概率密度函数积分的结果：

\[ F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_{0}^{x} = x^2 \]

3. 当 \( x > 1 \)，累积分布函数为从负无穷到1的积分结果，因为概率密度函数在1之后为0：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{1} 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_{0}^{1} = 1 \]

综上所述，累积分布函数F(x)可以表示为：

\[ F(x) =

\begin{cases}

0 & \text{当 } x < 0 \\

x^2 & \text{当 } 0 \leq x \leq 1 \\

1 & \text{当 } x > 1

\end{cases} \]

通过这个例子，我们可以看到，从概率密度函数到累积分布函数的转换需要进行积分运算，并且需要注意分段处理。这种方法不仅适用于简单的概率密度函数，也可以推广到更复杂的场景中。

总之，已知概率密度函数求分布函数是一个基础而又重要的技能，在实际应用中具有广泛的价值。希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

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