【函数的基本性质有哪些?请列举四个。】在数学中，函数是描述两个变量之间关系的重要工具。理解函数的基本性质有助于我们更好地分析和应用函数。以下是函数的四个基本性质，结合实例进行说明，并以表格形式进行总结。
一、定义域与值域
定义域是指函数中自变量可以取的所有实数值范围；值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
- 示例：函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 的定义域为 $ x \geq 0 $，值域为 $ y \geq 0 $。
二、单调性
函数的单调性指的是函数在某个区间内的增减趋势。若随着自变量的增大，函数值也增大，则称为单调递增；反之则为单调递减。
- 示例：函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 $ (-\infty, 0] $ 上单调递减，在 $ [0, +\infty) $ 上单调递增。
三、奇偶性
奇函数满足 $ f(-x) = -f(x) $，图像关于原点对称；偶函数满足 $ f(-x) = f(x) $，图像关于 y 轴对称。
- 示例：$ f(x) = x^3 $ 是奇函数，$ f(x) = x^2 $ 是偶函数。
四、周期性
周期性指函数在一定范围内重复其值的特性。若存在正数 $ T $，使得对于所有 $ x $，都有 $ f(x+T) = f(x) $，则称 $ T $ 为该函数的一个周期。
- 示例：三角函数如 $ f(x) = \sin(x) $ 和 $ f(x) = \cos(x) $ 都是周期函数，周期为 $ 2\pi $。
总结表格：
| 性质名称 | 定义 | 示例 |
| 定义域与值域 | 自变量可取的范围及对应的函数值范围 | $ f(x) = \sqrt{x} $，定义域 $ x \geq 0 $，值域 $ y \geq 0 $ |
| 单调性 | 函数在某一区间内是否递增或递减 | $ f(x) = x^2 $，在 $ (-\infty, 0] $ 递减，在 $ [0, +\infty) $ 递增 |
| 奇偶性 | 函数图像是否关于原点或 y 轴对称 | $ f(x) = x^3 $ 是奇函数，$ f(x) = x^2 $ 是偶函数 |
| 周期性 | 函数值是否在一定区间内重复 | $ f(x) = \sin(x) $，周期为 $ 2\pi $ |
通过了解这些基本性质，我们可以更清晰地把握函数的行为特征，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
