2023-11-13 10:40:05

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正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。由此，得，同理可得，故有.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有，。由此，得，同理可得故有.由(1)(2)可知，在ABC中，成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即.1’用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B，需要定位点C，即：在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求边AC的长b解：过C作CDAB交AB于D，则推论：同理可证：2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB中,,∴AD=AB·sinB=csinB.∴S△ABC=.同理,可证S△ABC=.∴S△ABC=.∴absinc=bcsinA=acsinB,在等式两端同除以ABC,可得.即.3.向量法证明正弦定理(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得.B∴|j

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