【如何判断平面与平面垂直】在立体几何中，判断两个平面是否垂直是常见的问题。平面之间的位置关系包括平行、相交和垂直。其中，判断两个平面是否垂直，是通过它们的法向量之间的夹角来确定的。以下是对这一问题的总结性说明，并附有相关知识点的表格。

一、判断平面与平面垂直的方法总结

要判断两个平面是否垂直，通常可以通过以下几种方式：

1. 利用法向量判断

每个平面都有一个法向量（即与该平面垂直的向量）。如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面也互相垂直。

2. 利用二面角判断

如果两个平面所形成的二面角为90度，则这两个平面垂直。

3. 利用直线与平面的关系

若一个平面内存在一条直线，该直线同时垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。

4. 利用空间坐标系中的方程

设两个平面分别为 $ \pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 $ 和 $ \pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 $，若满足 $ A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 $，则两平面垂直。

二、关键知识点对比表

三、实例分析

设平面 $ \pi_1: x + y + z = 0 $，平面 $ \pi_2: 2x - y + z = 0 $，判断它们是否垂直。

- 平面 $ \pi_1 $ 的法向量为 $ \vec{n}_1 = (1, 1, 1) $

- 平面 $ \pi_2 $ 的法向量为 $ \vec{n}_2 = (2, -1, 1) $

计算点积：

$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \times 2 + 1 \times (-1) + 1 \times 1 = 2 - 1 + 1 = 2 \neq 0 $

因此，这两个平面不垂直。

四、总结

判断两个平面是否垂直的核心在于理解它们的法向量之间的关系。掌握不同方法的适用场景，有助于在实际问题中灵活运用。无论是通过法向量、二面角、直线关系还是代数公式，都能有效判断平面与平面是否垂直。