常用十个泰勒展开公式是什么
发布时间：2025-10-30 19:35:33作者：笨熊呆又呆
【常用十个泰勒展开公式是什么】泰勒展开是数学中一种重要的近似方法，广泛应用于微积分、物理、工程等领域。它通过将一个函数在某一点附近用无限多项式来表示，从而便于计算和分析。以下是一些常见的泰勒展开公式，适用于不同类型的函数。
一、泰勒展开简介
泰勒展开的通用形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开（Maclaurin series）。
二、常用十种泰勒展开公式
以下是常用的十种函数的泰勒展开（以 $ x=0 $ 为展开点）：
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 7 | $ \ln(1-x) $ | $ -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots - \frac{x^n}{n} - \cdots $ | $ -1 \leq x < 1 $ | ||
| 8 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 9 | $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 10 | $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
三、总结
以上是十种常见的泰勒展开公式，涵盖了指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数以及双曲函数等类型。这些公式在实际应用中非常有用，特别是在进行数值计算、误差估计或简化复杂表达式时。
理解这些展开式的结构和收敛域有助于更好地掌握函数的行为，并为后续的数学分析打下坚实的基础。
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