【形心:截面图形的几何中心】在结构力学和材料力学中，形心是一个非常重要的概念。它指的是一个平面图形的几何中心，即该图形所有点的平均位置。形心在计算截面惯性矩、弯曲应力以及构件的稳定性等方面起着关键作用。理解形心的概念有助于更准确地分析和设计各种工程结构。
一、形心的基本概念
形心（Centroid）是几何图形的质心或重心，通常用于描述一个平面图形的对称中心或平均位置。对于均质材料构成的物体，形心与重心重合。在工程应用中，形心常用于确定截面的受力特性，如弯矩、剪力等。
二、形心的计算方法
形心的坐标可以通过积分法或分割法来计算：
- 积分法：适用于任意形状的图形，公式为：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \int x \, dA,\quad \bar{y} = \frac{1}{A} \int y \, dA
$$
- 分割法：将复杂图形划分为几个简单图形（如矩形、三角形、圆等），分别求出各部分的形心，再按面积加权求得整体形心。
三、常见图形的形心位置
以下是一些常见图形的形心坐标（以几何中心为参考）：
| 图形名称 | 形状 | 形心坐标（相对于几何中心） |
| 矩形 | 长方形 | (0, 0) |
| 正方形 | 正方形 | (0, 0) |
| 圆形 | 圆形 | (0, 0) |
| 三角形 | 三角形 | (a/3, b/3) |
| 半圆形 | 半圆 | (0, 4r/3π) |
| 梯形 | 梯形 | (h/3, 0) |
| T形 | T形 | 需根据具体尺寸计算 |
注：坐标系原点一般设在图形的对称轴交点或某一点，具体视情况而定。
四、形心的应用
1. 结构分析：在梁的弯曲分析中，形心是计算弯矩和应力分布的基础。
2. 材料力学：用于计算截面惯性矩和抗弯模量。
3. 工程设计：确保构件受力均匀，避免局部应力集中。
五、总结
形心是截面图形的几何中心，对于结构力学分析具有重要意义。通过合理计算和应用形心，可以提高工程设计的准确性和安全性。不同形状的图形有不同的形心位置，掌握这些基本知识有助于更好地理解和解决实际工程问题。
表：常见图形的形心位置汇总
| 图形类型 | 形心位置说明 | 备注 |
| 矩形 | 中心点 | 对称图形 |
| 正方形 | 中心点 | 对称图形 |
| 圆形 | 圆心 | 对称图形 |
| 三角形 | 顶点到对边中线的1/3处 | 非对称图形 |
| 半圆形 | 距离直径边缘4r/3π处 | 非对称图形 |
| 梯形 | 高度方向上1/3处 | 非对称图形 |
| T形 | 需分段计算 | 复杂图形 |
