【平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式】在平面直角坐标系中，两点之间的距离是几何学中的一个基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。理解并掌握两点间距离公式的推导与应用，对于后续学习直线方程、圆的方程等内容具有重要意义。
一、知识点总结
| 知识点 | 内容说明 |
| 定义 | 在平面直角坐标系中，已知两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，两点之间的距离是指从点 A 到点 B 的线段长度。 |
| 公式 | 两点间距离公式为：$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ |
| 推导原理 | 公式来源于勾股定理。将两点看作直角三角形的两个顶点，水平和垂直方向上的差值分别为直角边，斜边即为两点间的距离。 |
| 应用 | 可用于计算几何图形的边长、判断点的位置关系、解决实际问题等。 |
| 注意事项 | 公式适用于任意两点，无论其位置如何，只要坐标已知即可使用。 |
二、典型例题解析
| 题目 | 解答过程 |
| 已知点 A(1, 2)，点 B(4, 6)，求 AB 的距离。 | 根据公式：$ d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $ |
| 已知点 C(-3, 1)，点 D(0, -4)，求 CD 的距离。 | 计算：$ d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} $ |
| 若点 E(a, 3) 与点 F(2, 5) 的距离为 $ \sqrt{8} $，求 a 的值。 | 代入公式得：$ \sqrt{(2 - a)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{8} $ 平方两边得：$ (2 - a)^2 + 4 = 8 $ 解得：$ (2 - a)^2 = 4 $ → $ 2 - a = \pm 2 $ → $ a = 0 $ 或 $ a = 4 $ |
三、小结
两点间的距离公式是平面几何中的重要工具，通过该公式可以快速计算出两点之间的直线距离。掌握其推导过程有助于加深对几何知识的理解，并能灵活运用于各种实际问题中。建议在学习过程中多做练习题，提高运算能力和应用能力。
